Lie Groups: Beyond an Introduction

I can't recommend this book highly enough. I have learned a lot of Lie theory from the book and I continue to use the book as a reference.I first used this book to learn about Lie groups while I was a graduate student studying Riemannian geometry. Before starting this book I had taken a first course in Lie groups and had read Humphrey's Lie algebras book. I am unsure how well it would serve as an introduction to Lie groups, but with my background I found the book to be very accessible. The book provides complete proofs and rarely skips any steps in arguments, making it a great book to learn from. I also really liked the fact that all the results about Lie algebras are proved only for the real and complex numbers. This made those sections worth reading, even if you know these results and their proofs for more general fields.Over the past year, I have also used the book as a reference book and it works great in this sense to. Many chapters start with recalling the notation from the previous chapters or recalling what results were needed to prove these results. This is a really great feature that is surprisingly missing from a lot of math books. Knapp is also very careful about citing the previous lemmas he uses and so it is painless to pick up the book and start reading anywhere.

This is really a good book.

The short version: this is a superbly written and conceived book; if I had to learn this material (the basic theory ofstructure and representation of Lie algebras and groups,especially semimsimple ones) from a single book, this isthe one I'd choose, among those I've seen. If you know thebasics of abstract algebra and some very basic concepts fromtopology and manifolds, and you want to learn this material,use this book. It would be a good reference, too, as it iseasy to find things in it, and takes a fairly modern, sophisticated approach (without sacrificing motivation andintuition).The long version, if you want more convincing or details:I have used several books recently in learning the structure andrepresentation theory of Lie algebras and groups (especially Humphreys' Introduction to Lie algebras and representation theory, Fultonand Harris' "Representation Theory," Varadarajan's "Lie groups,Lie algebras, and their representations.") Although I came to Knapp's book with a decent background from the others, I think it's the best pedagogically, for someone with a modicum of mathematical sophistication and some basics like abstractalgebra and an idea of what a smooth manifold is), and a smattering of Lie theory. Some examples of the book's strength:Elementary but potentially confusing concepts (like complexification, real forms, field extensions)are explained thoroughly but in a sophisticated way, ratherthan viewed as obvious. Carefully chosen examples motivate andclarify the general theory; consequently even though the bookis completely rigorous, and carefully delineates lemmas, proofs,remarks, definitions, and the like, it seems less dry then someothers (e.g. Varadarajan, from my point of view). But the pointof the examples, and their relation to the general theory, ismade clear, so they do not provide an overload of detail or bobscure the main structure. Thought is always given to thereader's understanding, not just to logical correctness, thoughthe author also takes the point of view, with which I concur,that logical clarity and sufficient detail are essentialto understanding. Relations between ideas, alternativeproofs, and the structure of the theory to come are discussedthoroughly, but such discussion is clearly demarcated fromthe main structure of the argument, so that the latter is neverobscured. This is a fantastic book, and exactly what I waslooking for. Whether you are learning the material for thefirst time, or want to review it or refer to, it is a superbsource.

This book is extremely good. Although the title and the size of the book suggest a very advanced treatment, I think that it is actually very well suited to those who have some basic practical exposure to Lie groups and algebras, as any theoretical physicist has. However, I recommend to read also the review written by Knapp himself about two introductory books (www.math.sunysb.edu/~aknapp/pdf-files/BakerRossmann.pdf). Reading that review helped me a lot to understand what Knapp means by "Introductory Lie theory" and in particular to understand the idea of Section I.10 "Elementary theory of Lie groups", whose motivation was a bit hard to grasp for me the first time.

Okay. torn cover

リー群とリー環、及びその表現論の基礎を解説するテキストは数多く存在するが、内容の豊富さ、叙述の詳細さ・分かり易さで、本書はベストと言えるほど優れている。この理論の基礎を語るとき、(A)複素半単純リー環の分類理論、(B)コンパクト・リー群の表現論、(C)複素半単純リー環の有限次元表現論、(D)実単純リー環の分類理論、(E)半単純リー群及び簡約リー群の構造論、などは避けて通れない。定評のある入門書でも、(D)の分類や(E)の簡約リー群の構造を詳述しているものは殆ど無いだろう。本書はこれら全てをカバーしており、これだけでも本書の内容の豊富さを窺い知る事ができる。本書の内容につき、コメントを交えながら、以下に述べてみたい。(A)の分類は、被約ルート系の分類、及びカルタン行列（あるいはディンキン図形）の分類と同値であり、4つの無限系列と5つの例外リー環からなるという周知の結果であるが、本書の叙述は非常に詳細かつモダーンである。この分類が単連結コンパクト単純リー群の分類に対応する事にも注意したい。(B)の表現論では、ペーター-ワイルの定理とその重要な応用である「コンパクト・リー群は線型リー群の閉部分群と同型である」という結果と「特に半単純な場合、基本群は有限で、その被覆群はコンパクトである」というワイルの定理などが述べられている。(C)の複素半単純リー環の表現論では、表現の完全可約性と既約表現のカルタン-ワイルの最高ウェイト理論が議論の中心である。ここでは、「任意の支配的な整形式に対し、それを最高ウェイトとする有限次元既約表現が存在する」事に対し、Verma加群を用いる素敵な証明が述べられている。(D)と(E)を解説する第VI章と第VII章は、本書のハイライトと言える。実単純リー環の分類は、(A)の分類の延長線上に位置する理論で、幾つかの証明が知られているが、本書ではVogan図形を用いる新しい証明が述べられており興味深い。この分類が既約リーマン対称空間の分類に対応する事にも注意したい。簡約リー群とその放物型部分群の構造を述べる第VII章は、本書で最も難しい所であるが、放物型の部分環／部分群のLanglands分解の精緻な理論と「半単純リー群の等質空間が非コンパクト型エルミート対称空間になる為の美しい条件とその様な空間はある対称有界領域と正則同値になるというHarish-Chandra の定理」を理解できれば、その素晴らしさに深い感銘を受けられると思う。第X章では、階数付けられた複素半単純リー環の階数付けは必ずその放物型の部分環から導かれる事が示され、階数0の部分環に対応する解析的リー群が階数１の部分環を概均質ベクトル空間にする、というVinbergの定理が述べられている。この定理から、非コンパクト型エルミート対称空間に関係する表現から概均質ベクトル空間が構成される理由が説明でき、放物型の部分環、エルミート対称空間、概均質ベクトル空間の各々の理論が交錯する美しい情景に感動を覚える読者も多いと思う。リー群は対称空間であるので、対称空間論の知識があると本書の理解は一層深まるだろう。逆に、Helgasonなどの対称空間論の教科書を読む場合にも、本書の知識が役立つ場面が少なからずあると思う。相互に補完するという関係は、本書と小林・大島著『リー群と表現論』との間にも見い出せる。例えば、上記の(A)と(C)の理論や「有限次元のリー環は忠実な表現を持ち、線型リー環と同型である」というAdoの定理の証明などは、後者への重要な補足である。また、後者にある誘導表現や分岐則、更にBorel-Weil理論の解説は、本書への有用な補足となるだろう。本文と付録を合わせて700頁を超える大著であるが、誤植は極めて少なく、ある事実が成立する理由が以前のどの命題や定理に拠っているという論理が明快であるので、独習にも好適である。リー群論と表現論の大伽藍がその基礎から構築されてゆく現場を目の当たりにする様な印象を与えてくれる素晴らしいテキストであると断言できる。この分野の入門書の次に学習すべき書を問われれば、私は躊躇なく本書を薦めるだろう。